решение !!!

Уравнение равносильно системе:
$\left \{ {{cos2x+ \sqrt{2}cosx+1=0} \atop {tgx-1 \neq 0}} \right. \\$

Решаем первое уравнение:
$cos2x+ \sqrt{2}cosx+1=0 \\ 2cos^{2} x -1+ \sqrt{2}cosx+1=0 \\ 2cos^{2} x+ \sqrt{2}cosx=0 \\ cosx(2cosx+ \sqrt{2})=0 \\ cosx=0$ или $2cosx+ \sqrt{2}=0 \\$
$x= \frac{ \pi }{2}+ \pi n$ или    $cosx = - \frac{ \sqrt{2} }{2}$
   $x= +-\frac{ 3\pi }{4}+ 2\pi n$

Решаем второе:
$tgx-1 \neq 0 \\ tgx\neq 1 \\ x\neq \frac{ \pi }{4}+ \pi n \\$

Ответ: $\frac{ \pi }{2}+ \pi n, \frac{ 3\pi }{4}+ 2\pi n$ где n ∈ Z.