Выражение под корнем должно быть больше или равно нуля. Кроме того, значение корня всегда больше или равно нуля. Таким образом:
x+2≥0 (значение корня)
x≥-2
16+17x²≥0 (выражение под корнем)
17x²≥-16
x²≥-16/17
x∈R
4x+√(16+17x²)≥0 (выражение под корнем)
√(16+17x²) всегда ≥0 ⇒ 4x≥0
x≥0
x≥-2 ∧ x∈R ∧ x≥0 <-- назначаем общей часть промежутков</p>
ОДЗ∈<0,∞)</p>
4x+√(16+17x²)=(x+2)²
√(16+17x²)=x²+4x+4-4x
√(16+17x²)=x²+4
16+17x²=(x²+4)²
16+17x²=x⁴+8x²+16
x⁴-9x²=0
x²(x²-9)=0
x²(x-3)(x+3)=0
x=0 ∨ x=3 ∨ x=-3
-3∉ОДЗ
x=0 ∨ x=3