ПРЕДЛОЖЕНИЕ: Числа, являющиеся полными квадратами целых чисел и только они имеют нечетное количество делителей.
Доказательство:
Т.к. тривиальные делители любого числа (1 и само это число) не меняют четности делителей, то мы их не учитываем.
I. Пусть b не является полным квадратом ни одного целого числа.
Пусть a делит b. Тогда существует c (единственное) такое что b=ac.
Но тогда c делит b.
а<>с, т.к. иначе бы b=a^2, т.е. b - полный квадрат числа а, что противоречит условию.
Следовательно, для каждого делителя числа b найдется единственный парный ему делитель. Т.е. число делителей четно.
II. Пусть теперь b является полным квадратом некоторого числа a.
Тогда b=a*a. Т.е. a делит b.
Любой другой делитель числа b будет иметь парный делитель. Т.к. иначе b=c*c для некоторого c, но тогда c=a.
Таким образом b имеет только один делитель у которого нет пары. Т.е. число делителей у b - нечетно.
Доказано.