Если отвечать на вопрос, заданный Вами, то ответить можно таким образом. Мы знаем, чему равны периоды функций sin x, cos x, tg x, ctg x. Хорошо. А если поставлена другая задача: найти периоды функций sin kx, cos kx, tg kx, ctg kx? Тут мы применим следующее правило(или, точнее, формулу): период вот такой функции можно отыскать по формуле T/k. Здесь T - период "основной функции", то есть, период функции без коэффициента при x(просто синуса, косинуса и так далее). k - число перед x. Например, вычислим период функции cos 2x. Основная функция для этой является cos x. Её период равен 2пи - это мы с Вами знаем. Значит, T = 2пи.
k = 2, ну понятно, потому что при x в новой функции стоит коэффициент 2.
По формуле теперь ищем период T1: T1 = 2пи/2 = пи
Это я в самом кратком виде расписал, что же мы тут делаем.
На самом деле, наша формула имеет более широкую область действия - её можно применять для любых периодических функций. Просто в школьном курсе мы обычно говорим о тригонометрических функциях. Других периодических функций мы не знаем.
Ещё пример. Вычислим период функции 
Наша формула работает и в этом случае. Для этого надо определить значения T и k. Какая функция является "основной" для нашей? Это тангенс, поскольку видно, что взяли тангенс обычный, напихали внутри него много чего, да ещё и коэффициент спереди приписали. А в основе лежит именно тангенс. Значит, определяем период тангенса. Он равен пи, как мы знаем. Значит, 
Чему равен k? Он равен числу, которое стоит перед x. У нас это 4. Значит, k = 4. По нашей формуле период новой функции T1 равен 
Заметим, что нам было всё равно на остальные числа - нас интересует только число перед x. На этом можно рассказ считать законченным. Если будут вопросы, обращайтесь лично.