Нехай дiйснi числа x,y i z задовольняють одночасно двi рiвностi: (x+y)(х ^2+ у^2+2z)=1 (х...

Question 1

Нехай дiйснi числа x,y i z
задовольняють одночасно двi рiвностi:
(x+y)(х ^2+ у^2+2z)=1
(х ^2 +z) ^2 +z(x+y) ^2=1
Доведiть, що тодi виконується нерiвнiсть (у^2 +z) ^2 +z(x+y) ^2 ≥ z
З’ясуйте, коли в цiй нерiвностi досягається рiвнiсть.

Question 2

перезагрузи страницу если не видно

Question 3

Сделаем замену
$x^2+z=a \\ y^2+z=b$
тогда система
$a^2+z(x+y)^2=1 \\ (x+y)(a+b)=1$
Надо доказать
$b^2+z(x+y)^2 \geq z$
Из системы выразив $b;z$
Получим , что надо доказать
$\frac{ -2a(x+y)+(x+y)^2+1 }{(x+y)^2} \geq \frac{ (1-a^2) }{ (x+y)^2 } \\$
$\frac{ (x+y-a)^2 }{ (x+y)^2 } \geq 0$
  что верно , так как квадрат не может быть отрицательным
   $(y^2+z)^2+z(x^2+z) = z \\ (x+y)(x^2+y^2+2z)=1 \\ (x^2+z)^2+z(x+y)^2=1$
$y=z=0\\ x*(x^2)=1\\ x=1$
  Равенство достигается при $x=1;y=z=0$
  В целых числах

Матов_zn · Answer 1 · 2018-04-02T13:18:11+0000

Сделаем замену
$x^2+z=a \\ y^2+z=b$
тогда система
$a^2+z(x+y)^2=1 \\ (x+y)(a+b)=1$
Надо доказать
$b^2+z(x+y)^2 \geq z$
Из системы выразив $b;z$
Получим , что надо доказать
$\frac{ -2a(x+y)+(x+y)^2+1 }{(x+y)^2} \geq \frac{ (1-a^2) }{ (x+y)^2 } \\$
$\frac{ (x+y-a)^2 }{ (x+y)^2 } \geq 0$
  что верно , так как квадрат не может быть отрицательным
   $(y^2+z)^2+z(x^2+z) = z \\ (x+y)(x^2+y^2+2z)=1 \\ (x^2+z)^2+z(x+y)^2=1$
$y=z=0\\ x*(x^2)=1\\ x=1$
  Равенство достигается при $x=1;y=z=0$
  В целых числах