Пусть число x+1/x— целое. Для какого наименьшего количества целых чисел k из отрезка...

Если х=1, то для любого К получаем целое число, т.е. 2014*2+1 значений К явлются решениями.
Если х≠1, запишем условие х+1/х=n (n-целое),
тогда для любого х = (n+(n²-4)⁰⁵)/2 величина х+1/х целое число (n). Среди этого множества х найдутся такие, для которых
х^k + 1/х^k не является целым при любом к≠0. Однако при к=0 любое из этих значений- целое (х+1/х=2).
таким образом, наименьшее количество целых чисел k это 2 (к=0, k=1).

Исправление решения: если 1/х+х целое (к=1), то (1/х+х)² тоже целое, но
(1/х+х)²=1/х²+2+х² => 1/х²+х² целое (к=2)
аналогично (1/х+х)³ тоже целое, но
(1/х+х)³=1/х³+3(1/х+х)+х³ => 1/х³+х³ целое (к=3)
Пусть 1/х^n+х^n целое для всех n<=к. <br>Составим произведение двух целых чисел:
(1/х^к+х^к)·(1/х+х) =1/х^(к+1)+х^(к-1)+1/х^(к-1)+х^(к+1)
так как по предположению х^(к-1)+1/х^(к-1) целое,
то 1/х^(к+1)+х^(к+1) тоже целое.
т.о. если 1/х^к+х^к целое для к=1, то оно целое для всех целых к.
Легко видеть чт