1. Надо взять производную от первообразной
F(x) = e^3x + cosx + x
F'(x) = 3*e^3x - sinx + 1 = f(x)
По поводу док-ва того, что это верно на всей числовой оси я не уверен, но по идее достаточно показать, что обе функции определены при любом значении х, а значит и показанное выше верно для любых х.
2. Берем интеграл:
Sf(x)dx = S(4 + 2x - 6x^2)dx = 4x + x^2 - 2x^3 + c
Подставляем сюда точку из условия:
0 = -8 + 4 + 16 + с
с = -12
F(х), удовлетворяющая условию = 4x + x^2 - 2x^3 -12
3.
а) S(3\x + x^2)dx = 3*lnx + x^3/3, выполняем подстановку:
3*ln3 + 9 - 3ln1 - 1\3 = 3*ln3 + 26\3
б) S(2x + 1)^4dx = 1/2 S(2x + 1)^4 d(2x + 1) =
1/10*(2x + 1)^5, выполняем подстановку:
1\10 + 1\10 = 1\5
4.
три первых, как просили, расписал подробно, четвертый пишу, как делать без конкретики:
а) Ищем интеграл в пределах 2-3:
Sydx = -x^3/3 + 3x^2 -5x, подстановку не буду расписывать, думаю, уже ясно, как надо это делать.
б) если построить или просто прикинуть, что это за фукнции даны, то увидим, что одна из них - парабола с вершиной в нижней полуплоскости, а вторая - обычная прямая. Чтобы найти нужную площадь поступаем следующим образом: ищем площади "больших" фигур затем вычитаем нужные кусочки. В качестве пределов выступают точки пересечения параболы с осью х и точки пересечения двух функций.