Площадь ромба ABCD равна 18. В треугольник ABD вписана окружность,которая касается...

Question

Площадь ромба ABCD равна 18. В треугольник ABD вписана окружность,которая касается стороны АВ в точке К. Через точку К проведена прямая, параллельная диагонали АС и отсекающая от ромба треугольник площади 1. Найдите синус угла ВАС.

Answer 1

Пусть с - сторона ромба, х - отрезок ВК, В - угол СВА ромба.

Тогда площадь робма равна

с^2*sin(B) = 18;

А площадь отсеченного треугольника

(1/2)*x^2*sin(B) = 1;

отсюда

x = c/3; (при этом, само собой, АК = 2*с/3;)

Пусть O - точка пересечения диагоналей (и центр вписанной в ромб окружности). 

Прямоугольные треугольники ВОК и АВО подобны, и угол ВОК = угол ВАО (то есть угол ВАС :)) Обозначим его за Ф.

Пусть ВО = а, тогда

x/a = a/c = sin(Ф);

Легко видеть, что 

с^2/3 = a^2; a/c = корень(3)/3;

То есть sin(Ф) = корень(3)/3;