Помогите,пожалуйста! Тема: Применение производной для исследования функций **...

Question

Помогите,пожалуйста! Тема: Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы.

1.Докажите,что заданная функция возрастает:
Y=cos x+2x
2.Докажите,что заданная функция Убывает:
Y=sin 2x-3x
3.Определите промежутки монотонности функции
y=x^2-5x+4

Answer 1

1) y  =cosx+2x.
 y ' =(cosx+2x) ' =(cosx) ' +(2x)' =-sinx+2*(x)' = -sinx+2*1 =2 -sinx  > 0,  т.к.  -1 ≤ sin x≤ 1 . 
y ' >0 ⇒ функция возрастает (y ↑).
2) y =sin2x -3x.
 y '=(sin2x -3x)' = (sin2x)' -(3x)' =(cos2x)*(2x)' -3*(x)' =(cos2x)*2*(x)' -3*1.=cos2x*2*1 -3=
2cos2x - 3   <  0 следовательно функция  убывает  (у ↓).
* * *  -1≤cos2x≤1⇔ -2*1≤2*cos2x≤2*1 ⇔ -2 -3 ≤2cos2x -3 ≤2 -3 ⇔ -5 ≤2cos2x -3 ≤ -1 * * *
3) y =x² -5x +4 .
 y '= (x² -5x +4 )'  =(x²)' -(5x)' +(4)' =2x -5 +0  =2x -5.
y '=0⇒ 2x-5=0⇒ x =2,5.
функция убывает , если y ' < 0⇒2x -5.<0 ⇒2x <5⇒x<2,5 иначе .x∈ (-∞;2,5)<br>функция возрастает, если y ' <0 2x -5.>0 ⇒2x >5⇒x>2,5 иначе .x∈ (2,5 ;∞)

ответ:    у ↓ , если  x∈ (-∞;2,5) и  y ↑ ,  если  x∈ (2,5  ; ∞) .

=====================
y '        -                       +
----------------  2,5 ----------------
y ↓                min               y  ↑