Доказать, что сумма расстояний от любой точки, взятой внутри правильного многоугольника,...

Question

Доказать, что сумма расстояний от любой точки, взятой внутри правильного многоугольника, до всех прямых, содержащих его стороны, есть величина постоянная.

(Задача не из легких, так как случай общий; буду благодарен за разумное расписанное решение)

Answer 1

Пусть дан правильный многоугольник со стороной равной а. Соединим любую точку  А, взятую внутри правильного многоугольника  со всеми вершинами многоугольника и проведем перпендикуляры на все стороны .Обозначим  их длины d1,d2,d3,…,dn.Площадь многоугольника S=1/2*a*(d1+d2+d3+…+dn). Отсюда d1+d2+d3+…+dn=2S/a. Значит сумма расстояний не зависит от выбора точки.

Comments

Ну вот : мое решение удалили. А ведь оно было таким же, но высказано куда лаконичнее! Куда интереснее череды формул с обозначениями заметить, что факт верен для любого выпуклого многоугольника с одинаковыми сторонами, потом понять, что речь идет об отношении площади выпуклой фигуры к длине границы. Подумать всегда ли в выпуклую фигуру можно вписать равносторонний многоугольник. А Ваши д1, д2 ...этому только мешают!)