Помогите решить tg x - tg 2x = sin x

0 голосов
24 просмотров

Помогите решить tg x - tg 2x = sin x


Алгебра (15 баллов) | 24 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ
\frac{sinx}{cosx}- \frac{2tgx}{1-tg^{2}x}=sinx
\frac{sinx}{cosx}- \frac{ \frac{2sinx}{cosx}}{1- \frac{sin^{2}x}{cos^{2}x}}=sinx
\frac{sinx}{cosx}- \frac{ \frac{2sinx*cos^{2}x}{cosx}}{cos^{2}x-sin^{2}x}=sinx
\frac{sinx}{cosx}- \frac{2sinx*cosx}{cos^{2}x-sin^{2}x}=sinx
\frac{sinx*(cos^{2}x-sin^{2}x)-2sinx*cos^{2}x}{cosx*(cos^{2}x-sin^{2}x)}=sinx
sinx*(cos^{2}x-sin^{2}x)-2sinx*cos^{2}x=sinx*cosx*(cos^{2}x-sin^{2}x)
sinx*cos^{2}x-sin^{3}x-2sinx*cos^{2}x=sinx*cos^{3}x-sin^{3}x*cosx
sinx*cos^{2}x-sin^{3}x-2sinx*cos^{2}x-sinx*cos^{3}x+sin^{3}x*cosx=0
(-sinx*cos^{2}x-sinx*cos^{3}x)+(sin^{3}x*cosx-sin^{3}x)=0
-sinx*cos^{2}x(1+cosx)+sin^{3}x*(cosx-1)=0
sinx*(-cos^{2}x*(1+cosx)+sin^{2}x*(cosx-1))=0
sinx*(-cos^{2}x-cos^{3}x+sin^{2}x*cosx-sin^{2}x)=0
sinx*(-cos^{2}x-cos^{3}x+(1-cos^{2}x)*cosx-1+cos^{2}x)=0
sinx*(-cos^{3}x+cosx-cos^{3}x-1)=0
sinx*(-2cos^{3}x+cosx-1)=0
1) sinx=0
x= \pi k, k∈Z
2) -2cos^{3}x+cosx-1=0
2cos^{3}x-cosx+1=0
2.1) cosx=-1
x= \frac{ \pi }{2}+ \pi k, k∈Z
2.2) 2cos^{3}x-cosx+1=(cosx+1)(2cos^{2}x-2cosx+1)=0
2cos^{2}x-2cosx+1=0

Заменаcosx=t,  t∈[-1;1]
2t^{2}-2t+1=0, D=4-4*1*4=-12\ \textless \ 0 - нет решений

3) Объединим получившиеся решения в одно:
x= \frac{ \pi }{2}+ \frac{ \pi k }{2}, k∈Z
(63.2k баллов)