Точки E, F, G и H - середины сторон АВ, ВС, CD и AD выпуклого четырехугольника АВСD ....

Question

Точки E, F, G и H - середины сторон АВ, ВС, CD и AD выпуклого четырехугольника АВСD . Точки М и N – середины диагоналей AC и BD соответственно.
а) Докажите, что отрезки EG, FH и MN пересекаются в одной точке.
б) Найдите отношение площадей четырехугольников EMGN и FMHN, если АС и ВD равны друг другу и взаимно перпендикулярны, а прямые MN и FH пересекаются под углом α.

Comments

а) EFGH и FMHN - параллелограммы. У EFGH стороны II диагоналям (EF II AC как средняя линия ΔABC, и так далее). У FMHN стороны II сторонам ABCD (FM II AB как средняя линия ΔABC,...). У параллелограммов диагонали делятся пополам в точке пересечения, у этих параллелограммов есть общая диагональ FH. Поэтому все ТРИ диагонали пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам.

---

б) в условиях задачи с помощью векторов очень легко показать, что EG = FH, и что они перпендикулярны между собой (с диагоналями они составляют угол 45°) поэтому отношение площадей будет чем-то вроде tg(α);

---

Я конечно мог бы выложить решение, но может вы сами справитесь теперь?

---

Кстати, если это и в самом деле тангенс, то получается любопытное следствие - если α = 90°, то точки E M G N лежат на одной прямой. Если 0 - то F M H N ....

---

Ахах, спасибо, вы мне прям постоянно помогаете) а в пункте б) у меня получился ctga

---

ну, зависит от того, что на что делить :)

---

конечно, sin(90° - α)/sin(α) = ctg(α);

---

И ведь никто не сказал, что не надо в случае б) никаких векторов (хотя, если очень хочется, то можно). Равенство и перпендикулярность EG и FH следуют просто из того, что EFGH - квадрат.

---

И то, что они с диагоналями составляют углы в 45°... Я так ждал, что хоть кто-то скажет. Ничего, сдадите и забудете.

Answer 1

Я решил сохранить эту задачу. 
а) EFGH и FMHN - параллелограммы.
У EFGH стороны параллельны диагоналям четырехугольника ABCD. Действительно, EF II AC как средняя линия ΔABC; GH II AC как средняя линия ΔABD; EH II BD как средняя линия ΔABD; FG II BD как средняя линия ΔBCD; 
То есть EF II GH II AC; FG II EH II BD; и EF = GH = AC/2; FG = EH = BD/2;  
У четырехугольника FMHN стороны параллельны сторонам ABCD. FM II AB как средняя линия ΔABC; NH II AB как средняя линия ΔABD; FN II DC как средняя линия ΔDBC; MH II DC как средняя линия ΔACD .
У параллелограммов диагонали делятся пополам в точке пересечения.
У этих параллелограммов, кроме EG и MN, есть общая диагональ FH. Поэтому все три отрезка EG, FH и MN пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам.
б) Если AC = BD; и они взаимно перпендикулярны, то EFGH - квадрат (смотри п. а)) 
Это означает, что отрезки EG и FH тоже равны между собой и взаимно перпендикулярны, как диагонали квадрата.
(Кроме того, они составляют с диагоналями ABCD углы в 45°, в решении это не используется, но для общей картины полезно заметить).
То есть, если между MN и FH угол α; то между EG и FH угол 90° - α;
Площадь параллелограмма равна d1*d2*sin(α)/2; где d1 и d2 - диагонали параллелограмма, а α - угол между ними.
С учетом EG = FH; отношение площадей параллелограммов EMGN и FMHN равно sin(90° - α)/sin(α) = ctg(α);

Comments

То есть, если между MN и FH угол α; то между EG и MN угол 90° - α;, опечатка :(((