Найдите площадь треугольника АВС, если А(0,5,1), В(-4,2,1), С(7,5,-1)

Длина векторного произведения - это площадь параллелограмма, образованного двумя этими векторами. Значит, площадь треугольника равна Sпараллелограмма/2. Координаты векторов, образующих треугольник АВ=(-4,-3,0), АС=(7,0,-2). Векторное произведение - вектор, координаты которого ищем при помощи определителя:

$\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\-4&-3&0\\7&0&-2\end{array}\right]$

Коэффициенты при i,j,k - координаты: m(6, 8, 21)

считаем длину вектора: $\sqrt{6^2+8^2+21^2}$

Делим полученную длину на 2 - получаем площадь треугольника.