Высоты АА1 и ВВ1 треугольника АВС пересекаются в точке Н. Точки М и N - середины отрезков...

Question

Высоты АА1 и ВВ1 треугольника АВС пересекаются в точке Н. Точки М и N - середины отрезков АВ и СН соответственно.
а) Докажите, что треугольники А1МВ1 и А1NВ1 равнобедренные.
б) Найдите площадь четырехугольника А1МВ1N, если известно, что А1В1 =6 и MN=4.

Answer 1

а) Рассмотрим прямоугольный ΔСHА₁: по условию N - середина СН, значит А₁N - медиана, опущенная из прямого угла на гипотенузу СН.
Значит А₁N=СН/2
Рассмотрим прямоугольный ΔСHВ₁: В₁N - медиана, опущенная из прямого угла на гипотенузу СН.
Значит В₁N=СН/2.
Получается А₁N=В₁N, значит ΔА₁NВ₁ - равнобедренный
Аналогично в прямоугольном ΔАВА₁: по условию М - середина АВ, значит А₁М - медиана, опущенная из прямого угла на гипотенузу АВ.
Значит А₁М=АВ/2.
И в прямоугольном ΔАВВ₁: В₁М - медиана, опущенная из прямого угла на гипотенузу АВ.
Значит В₁М=АВ/2.
Получается А₁М=В₁М, значит ΔА₁МВ₁ - равнобедренный
б) Рассмотрим ΔМА₁N и ΔМВ₁N: из доказанного выше выходит, что 2 их стороны равны (А₁N=В₁N, А₁М=В₁М) и сторона МN-общая. Значит ΔМА₁N =ΔМВ₁N по трем сторонам, а значит и углы у них равны
Sa₁мв₁n=MN*А₁В₁*sin 90/2=4*6*1/2=12