Докажите неравенство для положительных значений переменных: x+y≤(x/y+y/x)*√yx

0 голосов
60 просмотров

Докажите неравенство для положительных значений переменных:

x+y≤(x/y+y/x)*√yx


Алгебра | 60 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

так как x>0; y>0, то

image \\ (x+y)xy \leq (x^2+y^2)\sqrt{xy}; <=> \\ (x+y)\sqrt{xy} \leq (x^2+y^2); <=> \\ \frac {x+y}{2}* 2\sqrt{xy} \leq (x^2+y^2); <=> \\ \frac {(x+y)^2}{2} \leq (x^2+y^2);\\ \frac {x+y}{2} \leq \sqrt \frac {x^2+y^2}{2} " alt="x+y \leq (\frac{x}{y}+\frac{y}{x})\sqrt{xy}; <=> \\ (x+y)xy \leq (x^2+y^2)\sqrt{xy}; <=> \\ (x+y)\sqrt{xy} \leq (x^2+y^2); <=> \\ \frac {x+y}{2}* 2\sqrt{xy} \leq (x^2+y^2); <=> \\ \frac {(x+y)^2}{2} \leq (x^2+y^2);\\ \frac {x+y}{2} \leq \sqrt \frac {x^2+y^2}{2} " align="absmiddle" class="latex-formula">

чтосправедливо как неравенство между средним арифмитечским и средним квадратическим

Доказано.

 

 

\sqrt(xy) \leq \ \frac{x+y}{2} - неравенство между средним геометрическим и средним арифмитическим

 

 

(409k баллов)