Разбираемся по порядку: как правильно и какая ошибка допущена. С точки зрения русского языка, правильным будет такой вариант: "По приезде в Москву он чувствовал себя плохо". Однако сейчас нечасто услышишь этот вариант, хоть он и правильный, потому что исторически сложилось, что "по приезду" используется гораздо чаще, что очень часто приводит в недоумение тех, кто пытается разобраться в правильности правописания производных предлогов "великого и могучего".) Теперь про ошибку. Как уже было упомянуто выше, правописание производных предлогов русского языка приводит в неописуемый ужас иностранцев и тех, кто на свой страх и риск решил попытаться говорить и писать абсолютно правильно. Вместе с правописанием этого предлога вопросы вызывают также предлоги "по завершении", "по прилете". Объясняется же их необычное правописание тем, что предлог "по" в значении "после чего-либо" употребляется с предложным падежом, отсюда также "по возвращении" и "по прибытии".