Сначала сгруппируем слагаемые так, чтобы были видны формулы сокращенного умножения.
Затем в числителе в одной группе применим формулу квадрат суммы, а в другой группе вынесем за скобку общий множитель p. В знаменателе в это время применим формулу квадрата суммы.
Потом в числителе вынесем за скобку общий множитель (x+m), а в знаменателе применим формулу разности квадратов.
И, наконец, сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на (x+m+p).
![\frac{ x^{2} +px+ m^{2} +2mx+pm}{ x^{2} -2pm- m^{2}- p^{2} } = \frac{( x^{2}+2mx+ m^{2})+(px+pm) }{ x^{2} -( m^{2}+2pm+ p^{2} ) } = \frac{(x+m) ^{2}+p(x+m) }{ x^{2} -(m+p)^{2} } = \\ = \frac{(x+m)(x+m+p)}{(x-m-p)(x+m+p)} = \frac{x+m}{x-m-p} \frac{ x^{2} +px+ m^{2} +2mx+pm}{ x^{2} -2pm- m^{2}- p^{2} } = \frac{( x^{2}+2mx+ m^{2})+(px+pm) }{ x^{2} -( m^{2}+2pm+ p^{2} ) } = \frac{(x+m) ^{2}+p(x+m) }{ x^{2} -(m+p)^{2} } = \\ = \frac{(x+m)(x+m+p)}{(x-m-p)(x+m+p)} = \frac{x+m}{x-m-p}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B+x%5E%7B2%7D+%2Bpx%2B+m%5E%7B2%7D+%2B2mx%2Bpm%7D%7B+x%5E%7B2%7D+-2pm-+m%5E%7B2%7D-++p%5E%7B2%7D+%7D+%3D+%5Cfrac%7B%28+x%5E%7B2%7D%2B2mx%2B+m%5E%7B2%7D%29%2B%28px%2Bpm%29++%7D%7B+x%5E%7B2%7D+-%28+m%5E%7B2%7D%2B2pm%2B+p%5E%7B2%7D+%29+%7D+%3D+%5Cfrac%7B%28x%2Bm%29+%5E%7B2%7D%2Bp%28x%2Bm%29+%7D%7B+x%5E%7B2%7D+-%28m%2Bp%29%5E%7B2%7D+%7D+%3D+%5C%5C+%3D+%5Cfrac%7B%28x%2Bm%29%28x%2Bm%2Bp%29%7D%7B%28x-m-p%29%28x%2Bm%2Bp%29%7D+%3D+%5Cfrac%7Bx%2Bm%7D%7Bx-m-p%7D+)