Быть шефом - шефствовать (шефствую), ездить по новым местам - путешествовать (путешествую), торжественно идти - шествовать (шествую), идти следом - следовать (следую), вести беседу - беседовать (беседую), предаваться размышлениям -раздумывать (раздумываю) , слегка качать - покачивать (покачиваю).