Решить уравнение sin^2(x)+sin^2(2x)+sin^2(3x)=1.5

$\sin^2x+\sin^22x+\sin^23x=1.5$

Воспользуемся формулой понижения степеней

$\displaystyle \frac{1-\cos2x}{2} + \frac{1-\cos4x}{2} + \frac{1-\cos6x}{2} =1.5$

Умножим обе части уравнения на 2, получаем:

$1-\cos2x+1-\cos4x+1-\cos6x=3\\ \\ -\cos2x-\cos 4x-\cos 6x=0\\ \\ -(\cos6x+\cos2x)-\cos4x=0$

Воспользуемся формулами преобразования суммы в произведение

$-2\cos \frac{6x+2x}{2}\cos \frac{6x-2x}{2} -\cos4x=0\\ \\ -2\cos4x\cos2x-\cos4x=0\\ \\ -\cos 4x(2\cos2x+1)=0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю

$\left[\begin{array}{ccc}\cos4x=0\\ \cos2x=-0.5\end{array}\right\to \left[\begin{array}{ccc}4x= \frac{\pi}{2}+ \pi n,n \in Z\\ 2x=\pm \frac{2\pi}{3}+2 \pi n,n \in Z \end{array}\right\to \left[\begin{array}{ccc}x_1= \frac{\pi}{8}+ \frac{\pi n}{4},n \in Z\\ x_2=\pm \frac{\pi}{3}+ \pi n,n \in Z\end{array}\right$