1. ОДЗ ф-ции 1/(1-х²): 1-х²≠0 ⇒ х₁≠1 х₂≠-1, то есть мы имеем две асимптоты в точках х=1 и х=-1.
2. Проверим ф-цию на чётность:
у=1/(1-(-х)²)=1/(1-х²), то есть ф-ция чётная, значит симметрична оси ординат.
3. Для нахождения критических точек возьмём первую производную и приравняем её к нулю:
у`=(1/(1-x²)`=(0-(-2x))/(1-x²)²=2x/(1-x²)²=0. Уравнение будет выполняться, если числитель будет равен нулю:
2х=0 х=0. ⇒ у(0)=1 - это точка минимума.
4. Исследуем ф-цию на убывание и возрастание. Знаки устанавливаем простой подстановкой точек из интервала:
-∞_____-_____-1____+_____0_____+____1____-____+∞
↓ ↑ ↑ ↓
5. Берём вторую производную Для нахождения точек перегиба (вогнутости и выпуклости):
у``=(2x/(1-x²)²)`=(4x²-6x⁴+2)/(1-x²)⁴
Точки асимптот берём из ОДЗ:
-∞______-_____-1______+_____1______-_____+∞
выпуклая вогнутая выпуклая
Вогнутость или выпуклость определяем простой подстановкой точек из интервала в выражение второй производной.
6. Исследуем ф-цию на наклон асимптот:
у=kx+b
k=lim(x⇒+∞)y(x)/x=lim(x⇒+∞)1/(x(1-x²)=lim(x⇒+∞)1/(x-x³)=0.
b=lim(x⇒+∞)(y(x)-kх)=lim(x⇒+∞)(1/(1-x²)-0)=lim(x⇒+∞)1/(1-x²)=0 ⇒ y=0,
то есть горизонтальной асимптотой является ось абсцисс ОХ и две вертикальные асимптоты х=1 и х=-1.
Теперь строим график:
В начале строим сетку из асимптот:
Y
I I I
I o Ι o I
I o I o I
I o I o I
I o I
________________I__ __I_1___I________________Х
о о -1I I 0 I 1 о ⁰
о I I I о
о I I I о
о I I I о
₀I I I о
I I I
В интервале (-1;1) будет парабола, а в интервалах (-∞;-1) и (1;+∞) -
гиперболы.