§5 Поток вектора напряженности
Определим поток вектора через произвольную поверхность dS, - нормаль к поверхности.α - угол между нормалью и силовой линией вектора . Можно ввести вектор площади . ПОТОКОМ ВЕКТОРА называется скалярная величина ФЕ равная скалярному произведению вектора напряженности на вектор площади
Для однородного поля
Для неоднородного поля
где - проекция на , - проекция на .В случае криволинейной поверхности S ее нужно разбить на элементарные поверхности dS, рассчитать поток через элементарную поверхность, а общий поток будет равен сумме или в пределе интегралу от элементарных потоковгде - интеграл по замкнутой поверхности S (например, по сфере, цилиндру, кубу и т.д.)Поток вектора является алгебраической величиной: зависит не только от конфигурации поля , но и от выбора направления .
Для замкнутых поверхностей за положительное направление нормали
принимается внешняя нормаль, т.е. нормаль, направленная наружу области,
охватываемой поверхностью.
Для однородного поля поток через замкнутую поверхность равен нуля. В случае неоднородного поля
.
§6 Теорема Гаусса и ее применение к расчету напряженности электростатического поля
I. Рассмотрим электростатическое поле, создаваемое единичным положительным зарядом. Заключим его в сферу радиуса R. Определим поток напряженности через сферическую поверхность радиуса R.Разобъем поверхность S сферы на элементарные площадки dS. Нормаль к площадке dS направлена по линии радиуса сфера и совпадает с направлением вектора : параллельна поэтому Тогда поток вектора через поверхность S будет равен сумме потоков через элементарные площадки dS и устремляя dS к 0 можно записать, что
Учитывая, что напряженность поля точечного заряда равна
получим
Этот результат можно обобщить на случай любой поверхности.
Учитывая
принцип суперпозиции можно полученный результат применить к любому
количеству зарядов, находящихся внутри поверхности.
ТЕОРЕМА ГАУССА:Поток вектора напряженности через
произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме
зарядов, заключенных внутри этой поверхности, деленной на ε0 (ε0 - электрическая постоянная)
II. Применение теоремы Гаусса.
Напряженность поля, создаваемая бесконечно протяженной однородно заряженной плоскоти с поверхностной плотностью заряда σ.
ПОВЕРХНОСТНАЯ ПЛОТНОСТЬ ЗАРЯДА показывает, какой заряд приходится на единицу площади Пинии напряженности перпендикулярны рассматриваемой поверхности и направлены от нее в обе стороны. Построим цилиндр с основанием S, образующая которого параллельна линиям напряженности .
Так как образующая цилиндра параллельна , то поток через основание S равенПоток через боковую поверхность цилиндра равен нулю, т.к. перпендикулярна S cosα= cos90° = 0, следовательно,2. Напряженность
поля, создаваемая двумя параллельными бесконечно протяженными
пластинами с поверхностной плотностью зарядов +σ и -σ. Найден поле Е, используя принцип
суперпозиции полей. В области между плоскостями Слева и справа от плоскостей поля вычитаются, т.к. линии напряженности направлены навстречу друг другу .
3. Напряженность ноля, создаваемая бесконечно протяжённой нитью с линейной плотностью заряда τ.
Линейная плотность заряда показывает, какой заряд приходится на единицу длина проводника.
Требуется определить напряженность ноля на некотором расстоянии rот нити. Для этого построим цилиндр радиуса r и высотой h, по оси которого проходит нить.
Поток через основания рассматриваемого цилиндра равен нулю, т.к. перпендикулярна вектору , следовательно, поток будет определяться только потоком через боковую поверхность цилиндра
4. Напряженность поля, создаваемого сферической поверхностью с поверхностной плотностью заряда σ.
На сфере радиуса R распределен заряд q. Поверхностная плотность заряда
Линии напряженности направлены радиально, отходя от поверхности сфера под прямым углом. Окружаем данную сферу сферой радиуса r и определяем поток напряженности через cферическую поверхность радиуса r.
При r> R весь заряд q попадает внутрь сфера r. Тогда по теореме Гаусса
, т.к. Еn = E. При r < R внутри поверхности радиуса r зарядов нет и поэтому Е=0. На этом основано экранирование - защита от внешних электрических полей.
5. Напряженность поля объемно заряженного шара с объемной плотностью заряда ρ.
Объемная плотность заряда показывает, какой заряд приходится на единицу объема
а) При r > R по пункту 4 находим б) При r < R