Основания трапеции равны a и b, причем a > b. Прямые, соеди-няющие середину большего...

Question

Основания трапеции равны a и b, причем a > b. Прямые, соеди-няющие середину большего основания с концами меньшего основания, пересекают диагонали трапеции в точках M и N. Найти длину отрезка MN.

Answer 1

Трапеция ABCD; AD II BC; AD = a; BC = b; К - середина AD; M - точка пересечения AC и BK; N - то же для CK и BD;
Первое, что надо понять - MN II AD; В самом деле, ABCK - трапеция, поэтому точка M делит её диагонали в отношении CM/AM = BC/AK = 2b/a;
Аналогично BN/ND = BC/KD = 2b/a; пропорции одинаковые, поэтому MN II AD;
Поскольку треугольники MNC и AKC подобны, все, что нужно - найти CM/AC; ясно, что MN/AK = CM/AC;
Пусть AM = x; CM = y; из подобия треугольников BCM и AKM
x/(a/2) = y/b; x = ya/2b; => x + y = y(1 + a/2b); y/(x + y) = 1/(1 + a/2b);
=> MN = AK/(1 + a/2b) = (a/2)/(1 + a/2b) = ab/(2b + a); вроде так :(

Comments

в случае квадрата получается 1/3 как и должно быть.

---

Очень легко проверяемый случай a = 2b и прямоугольная трапеция, тут получается 1/4 , что тоже очень легко найти.