В кубе АВСДА1В1С1Д1 точки Е и F середины отрезков ВД И С1С. Доказать, используя векторы...

$\overrightarrow{C_1B}=\overrightarrow{C1C}+\overrightarrow{CB}$
$\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{CE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{C_1C}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD})$
Таким образом, видим, что
$\overrightarrow{FE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{C_1B}+\overrightarrow{CD})$ . А это и означает, что векторы $\overrightarrow{BC_1}$ , $\overrightarrow{EF}$ и $\overrightarrow{DC}$ компланарны, т.е. соответствующие им прямые параллельны одной плоскости.