Участники одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое...

Question

Участники одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 73 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 5 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.
а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?
в) Из­вест­но, что пер­во­на­чаль­но сред­ний балл участ­ни­ков теста со­ста­вил 90, сред­ний балл участ­ни­ков, сдав­ших тест, со­ста­вил 100, а сред­ний балл участ­ни­ков, не сдав­ших тест, со­ста­вил 75. После до­бав­ле­ния бал­лов сред­ний балл участ­ни­ков, сдав­ших тест, стал равен 103, а не сдав­ших — 79. При каком наи­мень­шем числе участ­ни­ков теста воз­мож­на такая си­ту­а­ция?

Answer 1

а)Да, например, один участник, писавший тест, набрал 100 баллов, второй 70, третий – 10.Средний балл, не сдавших тест, первоначально был 70+10/2=40, а после добавления каждому участнику по 5 балла, средний балл, не сдавших тест, составил 15 
б) В при­ме­ре преды­ду­ще­го пунк­та сред­ний балл участ­ни­ков теста, сдав­ших тест, пер­во­на­чаль­но со­ста­вил 100 бал­лов, а после до­бав­ле­ния бал­лов составил 105+75/2=40 бал­лов.
в) Пусть всего было N участ­ни­ков теста, сдали тест a участ­ни­ков, после до­бав­ле­ния бал­лов сдали тест b участ­ни­ков. За­ме­тим, что сред­ний балл после до­бав­ле­ния со­ста­вил 95. Имеем два урав­не­ния:
90N = 75(N − a) + 10a и 95N = 79(N − b) + 103b, от­ку­да 15N = 25a, то есть 3N = 5a, и 16N = 24b, то есть 2N = 3b. Таким об­ра­зом, N ≥ 15.По­ка­жем, что N могло рав­нять­ся 15. Пусть из­на­чаль­но 5 участ­ни­ков на­бра­ли по 74 балла, 1 участ­ник — 80 бал­лов и 9 участ­ни­ков по 100 бал­лов. Тогда сред­ний балл был равен 90, сред­ний бал участ­ни­ков, сдав­ших тест, был равен 100, а сред­ний балл участ­ни­ков, не сдав­ших тест, был равен 75. После до­бав­ле­ния сред­ний балл участ­ни­ков, сдав­ших тест, стал равен 103, сред­ний балл участ­ни­ков, не сдав­ших тест, стал равен 79. Таким об­ра­зом, все усло­вия вы­пол­не­ны.