Изменить порядок интегрирования в интеграле знак интеграл от 0 до 2 dx знак интеграл от...

Question

Дан 1 ответ

NNNLLL54_zn · Answer 1 · 2018-04-02T20:10:41+0000

$\int _0^2dx\, \int _{-\sqrt{4-x^2}}^{2-x}f(x,y)dy}=I$

Так как $0 \leq x \leq 2$ , то область проектируется на ось ОХ на отрезок [0,2]. Переменная у изменяется от $y_1=-\sqrt{4-x^2}$ до $y_2=2-x$ .
То есть, если провести луч, параллельный оси ОУ, через внутреннюю точку области, то точка входа луча в область лежит на линии $y=-\sqrt{4-x^2}$ , a точка выхода - на линии $y=2-x$ .
Определим, что это за линии.
$y=-\sqrt{4-x^2}\; \to \; \; y^2=(-\sqrt{4-x^2})^2\; \to \; \; y^2=4-x^2\\\\x^2+y^2=4$

Это уравнение окружности с центром в (0,0) и R=2. Но нам необходима та часть окружности, для которой y<0, так как перед квадратным корнем стоит знак минус.<br>То есть это будет нижняя полуокружность.
у=2-х - это прямая, проходящая через точки (0,2) и (2,0).
При изменении порядка интегрирования, нужно лучи проводить через внутренние точки области параллельно оси ОХ, и проектировать её на ось ОУ. Теперь у нас будет сложная область , так как точки входа будут лежать на оси ОУ ( х=0), а точки выхода на разных линиях: полуокружности и прямой. Значит надо разбить область на 2 простые области.
Точки выхода, лежащие на полуокружности будут иметь такие абсциссы:

$x^2+y^2=4\; \; \to \; \; x^2=4-y^2\; \; \to \; \; x=\pm \sqrt{4-y^2}\\\\Tak\; kak\; x \geq 0,\; to\; x=+\sqrt{4-y^2}.$

Точки выхода, лежащие на прямой будут иметь абсциссы, равные х=2-у.

$I=\int _{-2}^0dy\int _0^{\sqrt{4-y^2}}f(x,y)dx+\int _0^{2}dy\int _0^{2-y}f(x,y)dx$