Abc равностороннего треугольника AC, AB MC/MA=NA/NB=2 взяты точки M,N. BM и CN...

Question

Abc равностороннего треугольника AC, AB MC/MA=NA/NB=2 взяты точки M,N. BM и CN пересекаются в точке P. Докажите APC=90 градус

Answer 1

На координатной плоскости взят треугольник с вершинами
A(0, 0) B(3√3/2, 3/2) C(3, 0) это равносторонний треугольник со стороной 3.
Точки M(1, 0) N(√3, 1); удовлетворяют условию.
Прямая BM имеет уравнение y = 3√3(x - 1)
(Я не буду объяснять, как составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Поскольку через две точки можно провести только одну прямую, достаточно проверить, что уравнению удовлетворяют обе точки, в данном случае y = 0 при x = 1 и y = 3√3/2 при x = 3/2;)
Прямая CN имеет уравнение y = (√3/2)(3 - x); (при x = 1 y = √3)
Точка пересечения этих прямых P(p,q) находится так
√3(3 - p)/2 = 3√3(p - 1); p = 9/7; q = 6√3/7; q/p = 2/√3;
Поскольку тангенсы угла наклона прямых AP 2/√3 и CN -√3/2 при умножении друг на друга дают -1, прямые эти взаимно перпендикулярны.

Comments

Или, если с тангенсами не понятно :) (что бывает), составьте скалярное произведение векторов AP и CN;

---

У точки B координаты перепутаны :( B(3/2, 3√3/2) и у точки N (1, √3) странно, что я правильно решил, допустив такую путаницу :))))

---

Вектор CN получился (-2, √3), а вектор AP (9/7, 6√3/7) пропорционален вектору (√3, 2), который очевидно перпендикулярен CN. Очень похоже, что тут какой-то кусочек замощения плоскости двумя группами одинаковых прямоугольных треугольников с углом в 30°, одна группа повернута относительно другой на 60°. А может их три группы. Я пока этим не занимался вплотную, но - интересно.