При каком условии интеграл представляет собой рациональную функцию? Нужно как то...

Question 1

При каком условии интеграл $\int\limits{ \frac{ax^2+bx+c}{x^3(x-1)^2} } \, dx$ представляет собой рациональную функцию? Нужно как то доказать.

Question 2

перезагрузи страницу если не видно

Question 3

Положим $\frac{nx^2+mx+v}{x^3} + \frac{ux+y}{(x-1)^2} = \frac{ax^2+bx+c}{x^3(x-1)^2}$
Открыв скобки , и приравняв соответствующие коэффициенты
$n+u=0 \\ m-2n+y=0\\ -2m+n+v=a \\ m-2v=b \\ v=c$
$m=2c+b \\ n= a+2b+3c \\ u=-a-2b-3c \\ v=c \\ y=2a+3b+4c$
$\frac{(a+b*2+3c)*x^2+(2c+b)x+c}{x^3} + \frac{ (-a-2b-3c)x+2a+3b+4c}{(x-1)^2}$ По отдельности
$\frac{a+2b+3c}{x} + \frac{2c+b}{x^2} + \frac{c}{x^3}$ $+ \frac{ (-a-2b-3c)x+2a+3b+4c}{(x-1)^2}$
По свойству интеграла
$\int\limit {(f(x)+f_{1} +...+(x) + f_{n}(x)} )dx =\int\limits{f_{1}(x)} \, dx+\int\limits { f_{2}(x)}dx+...+$
Получим
$\frac{a+b+c}{1-x} - \frac{b+2c}{x} - \frac{c}{2x^2} + ln(1-x)(a+2b+3c) + lnx(a+2b+3c)+C$
Откуда следует , для того чтобы функция была рациональной
$1) a+2b+3c=0 \\a+b+c\ \textgreater \ 0 \\ b+2c\ \textless \ 0\\ c\ \textless \ 0 \\\\ 2)a+2b+3c=0 \\ a+b+c\ \textless \ 0 \\b+2c\ \textgreater \ 0\\ c\ \textless \ 0 \\\\ 3) a+2b+3c=0\\a+b+c\ \textless \ 0 \\ b+2c\ \textgreater \ 0\\ c\ \textgreater \ 0 \\\\$

Откуда решения
$1) \\ a\ \textgreater \ 0 \ \ ; b\ \textgreater \ -\frac{a}{2} \ \ ; c=\frac{-a-2b}{3} \\ a \leq 0 \ \ b\ \textgreater \ -2a \ \ ; c = \frac{-a-2b}{3}$
$2) \\ a\ \textless \ 0 \ \ ; -\frac{a}{2}\ \textless \ b\ \textless \ -2a \ \ ; \ \ \ c = \frac{-a-2b}{3}$
$3) \\ a\ \textgreater \ 0 ; \ \ b\ \textless \ -2a ; \ \ c=\frac{-a-2b}{3} \\ a \leq 0 \ \ b\ \textless \ -\frac{a}{2} \ \ c=-\frac{-a-2b}{3}$

Question 4

Рациональная функция — это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены, а разве натуральный логарифм это многочлен?

Question 5

интересно откуда , такое правило ? ". Интеграл от любой рациональной функциис действительными коэффициентами ai и bk выражается через рациональные функции, логарифмы и арктангенсы."

Question 6

А какая тогда она по вашему , линейная , квадратная ?

Question 7

показательная функция

Question 8

ладно , с вам спорить , думайте сами

Question 9

присутствие логарифма полностью исключается определением рациональной функции" Интеграл от данной функций всегда будет с логарифмом

Question 10

нет, подставьте например, a=1, b=1, c=-1, логарифма не будет

Question 11

хорошо , сейчас давайте я напишу более подробно , если вы не поняли

Question 12

а что подробнее?

Question 13

решение