Докажите что при всех натуральных значениях n, уравнение x^2-2x-4n-1=0 не имеет целых...

$x^2-2x-4n-1=0 \\ D=(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot (-4n-1)=16n+8$
16n+8=4(4n+2)
Квадрат целого числа при делении на 4 может давать остатки 0 или 1, поэтому 4n+2 не может являться квадратом целого числа⇒4(4n+2) тоже нет.
x=(2±2√(4n+2))/2=1±√(4n+2); а поскольку √(4n+2) нецелое число, то и x нецелое, чтд.