Вписанная в треугольник ABC окружность касается сторон АВ=4 и АС=3 в точках М и N...

Question

Вписанная в треугольник ABC окружность касается сторон АВ=4 и АС=3 в точках М и N соответственно. Найти площадь треугольника AMN, если BC=2. Подскажите как решать. Именно ход решения. Ответ

Comments

x+y = 4; x + z = 3; y + z = 2; x - y = 1; 2x = 4; x = 5/2 = AN = AM; 2^2 = 4^2 + 3^2 - 2*4*3*cos(A); cos(A) = 21/24; sin(A) = √15/8; Samn = (1/2)*(5/2)^2*√15/8 = 25√15/64;

---

Ладно, выложу как решение, хотя и лень страшно

Answer 1

Пусть AM = AN = x; BM = y; CN = z; тогда
x + y = 4; x + z = 3; y + z = 2;
отсюда
x - y = 1; 2x = 4; x = 5/2 = AN = AM;
С другой стороны, по теореме косинусов;
2^2 = 4^2 + 3^2 - 2*4*3*cos(A);
откуда
cos(A) = 21/24; => sin(A) = √15/8;
осталось найти площадь треугольника AMN;
Samn = (1/2)*(5/2)^2*√15/8 = 25√15/64;