Много баллов, объясните кто-нибудь, пожалуйста. Желательно своими словами. Где...

Для начала вы не совсем верно решили ,корни равны $x_{1 ; 2 } = \frac{-5+/-\sqrt{37}}{2}$
Надо подставлять числа,вы решили неравенство через к примеру дискриминант приравняв его к нулю,но теперь вам надо определить какой промежуток штриховать , для этого надо подставлять числа
Возьмем какое-нибудь число из промежутка $x \in (-\infty ; \frac{-\sqrt{37}-5}{2} )$ , например число $-6$ так как оно входит в промежуток , значит подставляя ее в выражение $x^2+5x-3 = 36-5*6-3 = 3 \ \textless \ .0$ вам нужно ,по условию $\geq 0$ то есть входит , значит ШТРИХОВАТЬ ЭТУ ЧАСТЬ
Теперь на отрезке $x \in [ \frac{-5-\sqrt{37}}{2} ; \frac{ -5+\sqrt{37}}{2} ]$
к примеру число $0$ оно входит $0^2+5*0-3 \ \textless \ 0$ не входит , значит не штриховать
Так же и другой случаи ,там выходит штриховать подставляете любое число из промежутка $x \in [ \frac{\sqrt{ 37 } - 5 } {2} ; \ \infty )$ , к примеру
$1$ неравенство выполняется при подстановке , значит ее так же штриховать
Ответом будет заштрихованные части