Разобьем всё множство целых чисел на семь подмножеств. В 1-ое подмножество включим все целые числа делящиеся на 7, т.е. числа вида 7k, Во 2-ое подмножество включим все числа, имеющие остаток 1 при делении на 7, т.е. в нем будут все числа вида 7k+1. В следующее подмножество включим все числа вида 7k+2. И т.д. Последнее подмножество будет содержать все числа вида 7k+6. Эти множества, очевидно, не пересекаются и любое целое число принадлежит одному из них.
Теперь возьмем любые 100 чисел. Они как-то распределятся по этим семи подмножествам. Докажем, что существует подмножество, в которое попало не меньше 15 чисел из этих 100. Действительно, если бы в каждое подмножество попало 14 или меньше чисел. То количество чисел не превосходило бы 7*14=98. А чисел 100. Значит будет подмножество, в которое попало 15 или более чисел. Очевидно, что разность любых двух из этих 15-ти чисел делится на 7. Потому что все они имеют один остаток при делении на 7.