1)
Из ΔBOM по теореме Пифагора
BM =√(BO² +MO²) =√(R² +3²) ;
AB/sinB =2R ⇒R =4√3/(2*sin60°) =4 ;
BM =√(R² +3²) =√(4²+3²) =5.
--------------------------------------------------
2)
Если боковые грани составляют одинаковые углы с основанием, то высота пирамиды проходит через центр окружности вписанной в многоугольник представляющий основание. Если радиус вписанного в ромб круга равен r =3, то высота ромба будет h₁=2r=6 , а сторона AB =a =h₁/sin60° =6/(√3)/2 =4√3. Aпофема пирамиды будет: h =r/cos30°=2√3.
Sпол = Sосн + Sбок =a²*sin60°+ 4*a*h/2=(4√3)²*√3/2 + 2*4√3*2√3 =24√3 +48 .
или одно и тоже Sпол = 24(2 +√3) .
--------------------------------------------------
3)
Проводим BE ⊥ DC и E соединим с вершиной B₁. DE ⊥ B₁E ( по теореме трех перпендикуляров ; BE проекция B₁E ; DE⊥BE). α =< BEB₁ будет угол между плоскостями A₁DCB₁ и ABCD ( плоскость A₁DC и A₁DCB₁ одна и та же).
tqα =BB₁/BE , но из ΔBCE :
BE = BCsin(180° - tqα =BB₁/BE =2√2/((2√2)/2) =2.
tqα =2.