Y''' - 3y'' + 2y' = (1 - 2x)*e^x
Линейное неоднородное уравнение 3 порядка.
1) Однородное уравнение
y''' - 3y'' + 2y' = 0
Характеристическое уравнение
k^3 - 3k^2 + 2k = 0
k(k - 1)(k - 2) = 0
k1 = 0, k2 = 1, k3 = 2
y0 = C1 + C2*e^x + C3*e^(2x)
2) Неоднородное уравнение. Находим частное решение.
Правая часть имеет общий вид P(x)*e^(ax),
причем а = 1 - корень характеристического уравнения. Поэтому
y* = x*e^x*Q(x) = x*e^x*(Ax + B) = e^x*(Ax^2 + Bx)
y* ' = e^x*(Ax^2 + Bx) + e^x*(2Ax + B) = e^x*(Ax^2 + (2A + B)x + B)
y* '' =
e^x*(Ax^2 + (2A + B)x + B) + e^x*(2Ax + 2A + B) =
= e^x*(Ax^2 + (4A + B)x + 2A + 2B)
y* ''' =
e^x*(Ax^2 + (4A + B)x + 2A + 2B) + e^x*(2Ax + 4A + B) =
= e^x*(Ax^2 + (6A + B)x + 6A + 3B)
Подставляем в уравнение
e^x*(Ax^2 + (6A + B)x + 6A + 3B) - 3e^x*(Ax^2 + (4A + B)x + 2A + 2B) +
+ 2e^x*(Ax^2 + (2A + B)x + B) = e^x*(1 - 2x) = e^x*(0x^2 - 2x + 1)
Ax^2 + (6A + B)x + 6A + 3B - 3Ax^2 - 3(4A + B)x - 6A - 6B +
+ 2Ax^2 + 2(2A + B)x + 2B = 0x^2 - 2x + 1
Система из коэффициентов. Справа и слева одинаковые.
{ A - 3A + 2A = 0 | коэффициенты при x^2
{ 6A + B - 12A - 3B + 4A + 2B = -2 |
коэффициенты при x
{ 6A + 3B - 6A - 6B + 2B = 1 | свободные члены
Упрощаем, 1 уравнение убираем совсем, оно очевидно
{ -2A + 2B = -2
{ -B = 1
Получаем
B = -1; A = 0
Подставляем в частное решение
y* = -x*e^x; y* ' = -e^x - x*e^x = -e^x*(x + 1)
y* '' = -e^x*(x + 1) - e^x = -e^x*(x + 2); y* ''' = -e^x*(x + 2) - e^x = -e^x*(x + 3)
Полное решение неоднородного уравнения
y = y0 + y* =
C1 + C2*e^x + C3*e^(2x) - x*e^x