Помогите пожалуйста. Алгебра 9 классУ меня в решении корней нет, я думаю тут какой-то...

$\sqrt{x^2+3x+46} + \frac{20}{ \sqrt{x^2+3x+46}} =12$
ОДЗ: $\left \{ {{x^2+3x+46 \geq } \atop {x^2+3x+46 \neq 0}} \right. \to \{x^2+3x+46\ \textgreater \ 0\}$

пусть $\sqrt{x^2+3x+46} =t\,\,\,(t \geq 0)$ , тогда получаем
$t+ \frac{20}{t} =12|\cdot t \\ t^2-12t+20=0$

По т. Виета
$\left \{ {{t_1+t_2=12} \atop {t_1\cdot t_2=20}} \right. \to \left \{ {{t_1=2} \atop {t_2=10}} \right.$

Обратная замена
$\sqrt{x^2+3x+46} =2 \\ x^2+3x+46=4 \\ x^2+3x+42=0 \\ D=b^2-4ac=9-4\cdot 42\ \textless \ 0$
D<0, значит уравнение корней не имеет<br>
$\sqrt{x^2+3x+46} =10 \\ x^2+3x+46=100 \\ x^2+3x-54=0 \\ \left \{ {{x_1=-9} \atop {x_2=6}} \right.$

Как обычно проверяйте все корни, а то бывает же что не удовлетворяет ОДЗ, но подходит

Ответ: -9; 6.

Прежде всего, начнём с замены:
sqrt(x^2 + 3x + 46) = t
С учётом замены получаем уравнение:
t + 20/t = 12
Для начала хорошо бы оценить t. Сделаем это.
У параболы x^2 + 3x + 46 найдём наименьшее значение.
x0 = -b/2a = -3/2
y0 = 9/4 - 9/2 + 46 = 9/4 - 18/4 + 184/4 = 175/4 - это наименьшее значение квадратичной функции
Тогда t >= sqrt(175)/2 > 0
Теперь переходим к нашему уравнению. t > 0 - в этом мы уже убедились. Так что просто домножим на t обе части.
t^2 - 12t + 20 = 0
t1 = 10; t2 = 2
Теперь посмотрим, какой t удовлетворяет указанной оценке.
Очевидно сразу, что t2 не подходит нам.
Подходит ли t1? sqrt(175) - это больше 13, тогда
t > 13/2 = 6.5
Отсюда понятно, что t1 нам подходит. Теперь возвращаемся к x.
sqrt(x^2 + 3x + 46) = 10
Обе части уравнения неотрицательны, так что возводим их в квадрат.
x^2 + 3x + 46 = 100
x^2 + 3x - 54 = 0
x1 = -9; x2 = 6