Формула cos(a + b) = cos a*cos b - sin a*sin b
cos 7x = cos(3x + 4x) = cos 3x*cos 4x - sin 3x*sin 4x
По условию
cos 3x*cos 4x = cos 3x*cos 4x - sin 3x*sin 4x
cos 3x*cos 4x*(1 + sin 3x*sin 4x) = 0
1) cos 3x = 0; 3x = pi/2 + pi*k; x1 = pi/6 + pi/3*k
2) cos 4x = 0; 4x = pi/2 + pi*n; x2 = pi/8 + pi/4*n
3) sin 3x*sin 4x = -1
Формула sin a*sin b = 1/2*[cos(a-b) - cos(a+b)]
1/2*[cos(4x-3x) - cos(4x+3x)] = 1/2*(cos x - cos 7x) = -1
cos 7x - cos x = 2
Известно, что cos a ∈ [-1; 1]. Такое равенство может быть в одном случае:
{ cos 7x = 1
{ cos x = -1
Решаем каждое отдельно:
{ 7x = 2pi*k
{ x = pi + 2pi*n
Из 2 уравнения получаем:
7x = 7pi + 14pi*n = pi + 6pi + 14pi*n = pi + 2pi*(3 + 7n)
В 1 уравнении 7x = П, умноженному на четное число.
Во 2 уравнении 7x = П, умноженному на нечетное число.
Это противоречие, значит, у этого уравнения решений нет.
Ответ: x1 = pi/6 + pi/3*k;
x2 = pi/8 + pi/4*n