Дима забыл пин-код денежной карточки. Но он точно знает, что это четырехзначное целое...

Question

Дима забыл пин-код денежной карточки. Но он точно знает, что это четырехзначное целое число, причем оно делится как на 2, так и на 11 и начинается, и заканчивается на одинаковую цифру, а сумма всех его цифр равна 16.
Определите количество возможных вариантов пин-кода. Ответ запишите только числом без каких-либо знаков препинания.

Comments

Составители задач в идиотизм впадают. "Забыл" четыре цифры, зато помнит про него кучу того, что никто вообще на свете никогда не помнит...

Answer 1

Четырехзначное число в расширенной записи имеет вид

Известно, что первая и последняя цифры одинаковы, отсюда d=a.
Сумма цифр числа равна 16, т.е. 2a+b+c=16  (1)
Если число делится на 2, то оно четное, следовательно "a" может равняться
2, 4, 6, 8.      (2)
Нулю оно равняться не может, поскольку тогда число станет трехзначным.
Если четырехзначное число делится на 11, то модуль разности между суммами цифр, стоящих на четных и нечетных местах должна делиться на 11, т.е. |(a+c)-(a+b)|= |(c-b| делится на 11. Но разность двух однозначных чисел не может превышать 9, поэтому если она делится на 11, то она должна быть равна нулю. Но тогда с=b и число имеет вид
1000a+100b+10b+a.
А уравнение (1) будет выглядеть как
2a+b+b=16; 2a+2b=16; b=8-a  (3)
C учетом (2) можно из (3) получить 4 решения:
a=2, b=6
a=4, b=4
a=6, b=2
a=8, b=0
И это породит 4 возможных кода: 2662, 4444, 6226, 8008.