Две касающиеся внешним образом в точке К окружности,радиусы которых равны 15 и 24...

Question

Две касающиеся внешним образом в точке К окружности,радиусы которых равны 15 и 24 ,касаются сторон угла с вершиной А. общая касательная к этим окружностям,проходяжая через точку К,пересекает стороны угла в точках В и С.найдите радиус окружности,описанной около треугольника АВС

Answer 1

Радиусы обеих окружностей лежат на биссектрисе  ∠А. Общая касательная ей перпендикулярна и точка К лежит на той же биссектрисе. Поэтому АК есть одновременно и высота, т.е ΔАВС равнобедренный и центр описанной окружности лежит на той же биссктрисе. Из центров О1 и О2 малой и большой окружностей проведем радиусы  ⊥АВ до пересечения с АВ в точках D и F Из О1 проведем линию ∥АВ пересекающую O2F в точке E. ∠EO1O2 =∠BAK  (∠a).
 O1O2=R1+R2=15+24=39;
O2E=R2-R1=24-15=9
sin∠a =O2E/ O1O2=9/39=3/13;  cos∠a=√(1-(3/13)²)=√(160/169)=(4√10)/13
AO1=R1/sin∠a=15*13/3=45;
AK=AO1+R1=45+15=60;
AB=AK/cos∠a=60*13/(4√10)=195/√10
Пусть G-середина АВ. Тогда радиус окружности описанной около ΔАВС есть
R=AG/cos∠a=AB/2/cos∠a=195/(2√10)/((4√10)/13)=195*13/(10*4*2)=195*13/80=39*13/16=507/16
R=507/16  !!!