Помогите решить систему уравнений :

0 голосов
26 просмотров

Помогите решить систему уравнений :\left \{ {{7 \sqrt[3]{xy}-3 \sqrt{xy}=4 } \atop {x+y=20}} \right.

Алгебра (2.2k баллов) | 26 просмотров
Дано ответов: 2
0 голосов
Правильный ответ
\left \{ {{7 \sqrt[3]{xy} -3 \sqrt{xy} =4} \atop {x+y=20}} \right.
В 1 уравнении замена xy = t
\left \{ {{7 \sqrt[3]{t}=4+3 \sqrt{t} } \atop {x+y=20}} \right.
1 уравнение возводим в куб
\left \{ {{343t = (4+3 \sqrt{t} )^{3}= 4^3+3*4^2*3 \sqrt{t} +3*4*9t+27 \sqrt{t^3}} \atop {x+y=20}} \right.
\left \{ {{343t = 64+144 \sqrt{t} +108t+27t \sqrt{t}} \atop {x+y=20}} \right.
\left \{ {{64+144 \sqrt{t} -235t+27t \sqrt{t}=0} \atop {x+y=20}} \right.
Новая замена √t = z > 0 при любом t, потому что корень арифметический.
\left \{ {{27z^3-235z^2+144z+64=0} \atop {x+y=20}} \right.
\left \{ {{27z^3-27z^2-208z^2+208z-64z+64=0} \atop {x+y=20}} \right.
\left \{ {{(z-1)(27z^2-208z-64)=0} \atop {x+y=20}} \right.
\left \{ {{(z-1)(27z^2-216z+8z-64)=0} \atop {x+y=20}} \right.
\left \{ {{(z-1)(z-8)(27z+8)=0} \atop {x+y=20}} \right.
Получаем два корня:
1) z = 1
\left \{ {{z= \sqrt{t}= \sqrt{xy} =1} \atop {x+y=20}} \right.
\left \{ {{xy=1} \atop {x+y=20}} \right.
x и y являются корнями квадратного уравнения, которое по теореме Виета имеет коэффициенты b = 20, c = 1
k^2 - 20k + 1 = 0
D/4 = 100 - 1 = 99 = (3√11)^2
k1 = 10 - 3√11; k2 = 10 + 3√11
x1 = 10 - 3√11. y1 = 10 + 3√11
x2 = 10 + 3√11; y2 = 10 - 3√11

2) z = 8
\left \{ {{z= \sqrt{t}= \sqrt{xy} =8} \atop {x+y=20}} \right.
\left \{ {{xy=64} \atop {x+y=20}} \right.
x и y являются корнями квадратного уравнения, которое по теореме Виета имеет коэффициенты b = 20, c = 64
k^2 - 20k + 64 = 0
D/4 = 100 - 64 = 36 = 6^2
k1 = 10 - 6 = 4; k2 = 10 + 6 = 16
x3 = 4; y3 = 16
x4 = 16; y4 = 4

3) z = -8/27 < 0  - не подходит, должно быть z > 0 при любом t
Ответ: (10-3√11; 10+3√11); (10+3√11; 10-3√11); (4; 16); (16; 4)

(320k баллов)
0 голосов

ОДЗ: xy≥0
Произведем замену переменных
 Пусть \sqrt[6]{xy} =a, тогда получаем
\begin{cases} & \text{ } 7a^2-3a^3=4 \\ & \text{ } x+y=20 \end{cases}
Разложим на множители уравнение (1)
*******************************************************
3a^3-7a^2+4=0
 Добавим и вычтем слагаемые
3a^3-3a^2-4a^2+4a-4a+4=0\\ 3a^2(a-1)-4a(a-1)-4(a-1)=0\\(a-1)(3a^2-4a-4)=0\\ a_1=0\\ 3a^2-4a-4=0\\ D=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot3\cdot(-4)=64\\ a_2=2\\a_3=- \frac{2}{3}
***********************************
a=-2/3 - лишний, так как не удовлетворяет ОДЗ
 Имеем 2 системы
\begin{cases} & \text{ } \sqrt[6]{xy}=1 \\ & \text{ } x+y=20 \end{cases} \Rightarrow\begin{cases} & \text{ } xy=1 \\ & \text{ } x=20-y \end{cases} \\ y(20-y)=1\\ -y^2+20y=1\\ y^2-20y+1=0\\ D=b^2-4ac=(-20)^2-4\cdot1\cdot1=396\\ y_1=10-3 \sqrt{11} \\y_2=10+3\sqrt{11}\\x_1=10+3\sqrt{11}\\ x_2=10-3\sqrt{11}

\begin{cases} & \text{ } \sqrt[6]{xy}=2 \\ & \text{ } x+y=20 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } xy=64 \\ & \text{ } x=20 -y \end{cases}\\ y(20-y)=64\\y^2-20y+64=0\\ D=b^2-4ac=(-20)^2-4\cdot1\cdot64=144\\ y_1=4\\y_2=16\\x_1=16\\ x_2=4

Ответ: (10+3 \sqrt{11} ;10-3\sqrt{11} ),\,\,(10-3\sqrt{11} ;10+3\sqrt{11} ),\,\,(16;4),\,\,(4;16).
0

ага пасиб ))))))))

оставил комментарий (2.2k баллов)
Похожие задачи