Присвоим каждому ореху порядковый номер.
1.1) На одну чашу кладем 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 орехи; на вторую 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 орехи. Если чаши уравновесятся, то гнилой - 15.
1.1.1) Если первая чаша легче, то делаем взвешивание: на первую чашу 1, 2, 3; на вторую чашу 4, 5, 6. Если чаши уравновесятся, то гнилой - 7.
1.1.2) Если вторая чаша легче, то делаем взвешивание: на первую чашу 8, 9, 10; на вторую чашу 11, 12, 13. Если чаши уравновесятся, то гнилой - 14.
1.1.1.1) Если первая легче, то делаем взвешивание: на первую чашу 1; на вторую чашу 2. Если чаши уравновесятся, то гнилой - 3. Если первая чаша легче, то гнилой - 1. Если вторая чаша легче, то гнилой - 2.
1.1.2.1) Если первая чаша легче, то делаем взвешивание: на первую чашу 8; на вторую чашу 9. Если чаши уравновесятся, то гнилой - 10. Если первая чаша легче, то гнилой - 8. Если вторая чаша легче, то гнилой - 9.
1.1.1.2) Если вторая чаша легче, то делаем взвешивание: на первую чашу 4; на вторую чашу 5. Если чаши уравновесятся, то гнилой - 6. Если первая чаша легче, то гнилой - 4. Если вторая чаша легче, то гнилой - 5.
1.1.2.2) Если вторая чаша легче, то делаем взвешивание: на первую чашу 11; на вторую чашу 12. Если чаши уравновесятся, то гнилой - 13. Если первая чаша легче, то гнилой - 11. Если вторая чаша легче, то гнилой - 12.
Итого: максимальное количество взвешиваний - 3.