Найдите уравнение параболы, которая симметрична параболе y=2x^2-3x+1 относительно прямой...

Question

Найдите уравнение параболы, которая симметрична параболе y=2x^2-3x+1 относительно прямой x=2. С рисунком, если можно)

Answer 1

Уравнение данной параболы имеет вид  у=ax²+bx+c
a=2  b=-3    c=1
Вершина параболы  имеет абсциссу в точке
х₀=-b/2a=3/4=0,75
и ординату
у₀=2·(0,75)²-3·0,75+1=2·0,5625-2,25+1=-0,125
(0,75; -0,125) - координаты вершины данной параболы
Найдем другие точки параболы, например,
при х=0    у=2·0²-3·0+1=1
(0;1)  
при х=2    у=2·2²-3·2+1=3
(2;3)

Пусть новая парабола задана уравнением
у=Ах²+Вх+С
и симметрична данной относительно прямой х=2
Тогда вершина новой параболы симметрична точке (0,75;-0,125).
Абсцисса х₀=0,75 находится на расстоянии 2-0,75=1,25 от прямой х=2 слева.
Абсцисса вершины новой параболы находится в точке, находящейся на расстоянии 1,25 от точки х=2
Х₀=2+1.25=3,25
Ордината имеет такое же значение.
(3,25; -0,125)- координаты вершины новой параболы
Х₀=-В/2А, поэтому   
-В/2А=3,25    ⇒  В=-6,5А
Точка (0;1) симметрична точке (4;1) относительно прямой х=2
Точка (2;3) симметрична сама себе при симметрии относительно прямой х=2.
Новая парабола проходит через точки  (4;1) и (2;3).
Подставляем координаты этих точек в уравнение новой параболы
у==Ах²+Вх+С
и получаем систему уравнений относительно коэффициентов А; В; С

Сложим
-5=8A-C  ⇒  C=8A+5
Подставим
В=-6,5А и  C=8A+5
в первое уравнение
1=16A+4·(-6,5A)+8A+5
1=16А-26А+8А+5
-4=-2А
А=2
В=-6,5·2=-13
С=8А+5=8·2+5=16+5=21
Подставим найденные значения А, В, С в уравнение новой параболы
у=2х²-13х+21
Проверка. Абсцисса вершины Х₀=-B/2A=13/4=3,25 - верно
Ордината  У₀=2·(3,25)²-13·3,25+21=2·10,5625-42,25+21=-0,125
 
Ответ.у=2х²-13х+21