Натуральные числа m и n такие, что НСК (m; n) + НОД (m; n) = m + n. Докажите, что одно из...

Question

Натуральные числа m и n такие, что НСК (m; n) + НОД (m; n) = m + n. Докажите, что одно из чисел m или n делится на другое.

Answer 1

Обозначим d=НОД(m,n). Тогда m=da, n=db и НОК(m,n)=dab при некоторых целых a,b.
Значит dab+d=da+db, откуда ab+1=a+b, т.е. (a-1)(b-1)=0, т.е. либо а=1 либо b=1. Если a=1, то m=d, и значит n=mb. Т.е. n делится на m. Аналогично, если b=1, то m делится на n.