Помогите решить пример.У меня один и тот же ответ получается(Мой ответ ), но с учебником...

А у вас все правильно только сократить немного можно $\sqrt[30]{512}=(2^9)^{1/30}=2^{9/30}=2^{3/10}=\sqrt[10]{2^3}=\sqrt[10]{8}.$
А вообще, до больших чисел не надо было доводить, ведь $\sqrt[3]{2\sqrt{2}}=\sqrt[3]{\sqrt{8}}=\sqrt{\sqrt[3]{8}}=\sqrt{2}.$ . Поэтому $\sqrt[5]{2\sqrt[3]{2\sqrt{2}}}=\sqrt[5]{2\sqrt{2}}=\sqrt[5]{\sqrt{8}}=\sqrt[10]{8}$