Вычислить сумму: 1х2+2х5+3х8+...+nх(3хn-1)

Question

Вычислить сумму: 1х2+2х5+3х8+...+nх(3хn-1)

Answer 1

Можно доказать по индукции, если угадать ответ, и если знаете как доказывать по индукции. Так вот, докажем, что ответ здесь (n+1)n^2.
При n=1, эта формула верна.
Предполжоим, что она верна и для произвольного n. Тогда докажем, что она верна и для n+1:
Подставим в эту сумму n+1 вместо n. Получим:
1*2+2*5+...+n*(3n-1)+(n+1)*(3(n+1)-1). Т.к. мы предположили что для n наша формула верна, то эта новая сумма n+1 слагаемого равна
(n+1)*n^2+(n+1)(3n+2)=(n+1)(n^2+3n+2).=((n+1)+1)(n+1)^2,
т.к. n^2+3n-2=(n+1)(n+2). Т.е. получилось, что сумма n+1 слагаемого равна нашей формуле если в нее подставить n+1. Итак по индукции сумма всего выражения равна (n+1)*n^2.

Comments

Я не могу угадывать ответы, поэтому мне решение не подходит

---

Здесь не просто ответ угадан, здесь доказано, что угаданный ответ правильный. Такое решение ничем не хуже другого.

---

Обычный метод индукции

---

Придумал вам другой способ вывести эту формулу.
Просуммируем по k=1,2,..,n верное тождество
(k+1)^3-k^3=k(3k-1)+(4k+1). В левой части все слагаемые, кроме первого и последнего сокрятятся и получим (n+1)^3-1=(1*2+2*5+...+n*(3n-1))+(2n+3)n. Значит 1*2+2*5+...+n*(3n-1)=(n+1)^3-1-(2n+3)n=n^3+n^2.