Решите уравнение sinx+cosx=1-sin2x

Как-то так
$sin(x)+cos(x)=1-sin(2x)$ (1)
$sin(x)+cos(x)=1-2sin(x)cos(x)$
обозначим
u=sin(x)
тогда
$cos(x)= \sqrt{1-u^2}$
уравнение примет вид
$u+ \sqrt{1-u^2}=1-2u \sqrt{1-u^2}$
возводим обе части равенства в квадрат (Вот тут влез лишний корень u=-1)
$u^2+2u \sqrt{1-u^2}+1-u^2=1-4u \sqrt{1-u^2}+4u^2 (1-u^2)$
$+6u \sqrt{1-u^2}=+4u^2 (1-u^2)$ (ЖЖ)
$3 \sqrt{1-u^2}=2u (1-u^2)$ (Ж)
сокращаем на $\sqrt{1-u^2}$ при этом $1-u^2$ ≠0 проверить
$3 =2u \sqrt{1-u^2}$
снова обе части в квадрат
$9 =4u^2 (1-u^2)$

$-4u^4 +4u^2-9=0$

Проверьте Нигде не хомутнул.
Ну дальше уже проще
обозначим $v=u^2$
-4v^2+4v-9=0
Да это уравнение вещественных корней не имеет, так как дискриминант <0, как справедливо заметили коллеги.<br>НО
Мы делили на $\sqrt{1-u^2}$ могли потерять решение
при $1-u^2=0$
тогда (Ж) обращается в верное равенство.

Значит, надо рассмотреть уравнение
при $1-u^2=0$
Ну а,это решение уже имеет корни
$u_{1}=1$
$u_{2}=-1$

u=sin(x)=-1 придется отбросить, ибо такое значение не удовлетворяет исходному уравнению (1)

$sin(x)=1$

$x= \frac{ \pi}{2}+2 \pi k$
где к целые числа
Да судя по рисунку мы еще потеряли корни.
Да там где (ЖЖ) мы делили (сокращали на 2u)
u=0 тоже обращает (ЖЖ) в верное равенство
Тогда
$sin(x)=0$
И еще один набор корней
$x=0+ n\pi$
где n целое n=0, +-1, +-2, +-3 и тд
Блин, а судя по картинке, остаются только,
$x=2 \pi n$
где n целое n=0, +-1, +-2, +-3 и тд