Самостоятельная часть речи отличается от служебной тем, что самостоятельно выполняет синтаксическую роль в предложении. Поэтому глагол - самостоятельная часть речи. Чаще всего в предложении выступает в роли главного члена - сказуемого.
Я пришёл в школу. сказуемое пришёл выражено глаголом.
Но глагол может быть и подлежащим: "Хотеть - значит мочь" - девиз Котовского, где подлежащее хотеть выражено инфинитивом, кстати, сказуемое тоже инфинитив - мочь.
Может глагол быть и дополнением Я прошу тебя открыть окно. прошу - сказуемое - прошу о чём? - открыть - дополнение, выраженное инфинитивом ( я токо прошу, а лткрывать относится к тебе)
Да и определением может быть тот же инфинитив, Площадка играть в лапту рядом. Площадо какая? -играть - определение.
Поэтому глагол - самостоятельная часть речи.