Найти значение параметра, хотя бы один корень.

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Перенесем $a^2-10a$ в правую часть , получим $4|x-5a|-8|x|-(a^2-10)$ , впишем функцию $y=4|x-5a|-8|x|-(a^2-10)$
Рассмотрим два случая когда $a \geq 0; a\ \textless \ 0$
Случаи $a \geq 0$ при этом решения $y=0$ будут

$4|x-5a|-8|x|-(a^2-10a)=0\\ x \geq 0\\ a \geq 0\\\\$
Получаем две точки
$-----0-------5a-----\ \textgreater \ \\ \ \ \ \ \ \ - \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \$
То есть получим два решения
$20a-4x+8x-a^2+10a=0\\ x=\frac{a^2-30a}{4}\\ 20a-4x-8x-(a^2-10a)=0\\ -12x+30a-a^2=0\\ x=\frac{30-a^2}{12}\\\\$

Случаи $a\ \textless \ 0$
Получаем так же два случая , и решения его
$x=\frac{a^2+10a}{12}\\ x=\frac{-a^2-10a}{4}$

То есть график ломанной прямой проходит через выше сказанные точки , максимальное значение достигает при
   $x=0\\ a\ \textless \ 0 \\ 20a-(a^2-10a) \\\\ a \geq 0 \\ -20a-(a^2-10a) \\$

График левой части
$y=5\sqrt{x^2+25}$ , парабола , $x^2 \neq -25\\ f(0)=25$ , то есть ветви направлены вверх , и минимальное значение достигается в точке $x=0; f_{min}=25$

Значит нужно решить неравенство
$1)-20a-(a^2-10a) \geq 25 \\ a\ \textless \ 0\\ -20a-a^2+10a \geq 25\\ -a^2-10a-25 \geq 0 \\ a^2+10a+25 \leq 0\\ a=-5 \ \textless \ 0\\\\ 2)20a-(a^2-10a) \geq 25\\ 20a-a^2+10a-25 \geq 0\\ a^2-30a+25 \leq 0\\ D=900-4*1*25\\ a=15-10\sqrt{2}\\ a=15+10\sqrt{2}$

То есть ответ $a \in -5 \ \cup [ 15-10 \sqrt{2} ; 15+10\sqrt{2}]$

Матов_zn (224k баллов) 03 Апр, 18