Помогите пожалуйста, нужно найти значение у(1/е). Решение начала, правильно ли у меня и...

Question

Дано ответов: 2

vendor_zn · Answer 1 · 2018-04-03T20:26:00+0000

Почти. Ошибка при разделении переменных. Правильно до этого момента:
$\displaystyle x^2\frac{du}{dx}=e^u.$
Следующий переход содержит ошибку. Нужно делить на $\displaystyle du$ :
$\displaystyle \frac{x^2}{dx}=\frac{e^u}{du};$
затем возводить в минус первую степень:
$\displaystyle \frac{dx}{x^2}=\frac{du}{e^u};$
и интегрировать:
$\displaystyle \int \frac{dx}{x^2}=\int e^{-u}du;$
$\displaystyle \int x^{-2}dx=-\int e^{-u}d(-u);$
$\displaystyle -\frac{1}{x}+C=-e^{-u};$
$\displaystyle \frac{1}{x}+C=e^{-u}.$
Делаем обратную замену $\displaystyle u=y/x$ :
$\displaystyle \frac{1}{x}+C=e^{-y/x}.$
Осталось всего-лишь решить уравнение для $\displaystyle y(x)$ .
Прологарифмируем обе части:
$\displaystyle ln\left(\frac{1}{x}+C\right)=ln\left(e^{-y/x}\right);$
вычислим логарифмы:
$\displaystyle ln\left(\frac{1}{x}+C\right)=-\frac{y}{x};$
умножим обе части на $\displaystyle -x$ :
$\displaystyle -xln\left(\frac{1}{x}+C\right)=y;$
получено множество функций $\displaystyle y(x)$ :
$\displaystyle y(x)=-xln\left(\frac{1}{x}+C\right).$
Известно, что для нужной функции из полученного множества функций, удовлетворяющих исходному дифференциальному уравнению, выполняется $\displaystyle x=1 \implies y(x)=0;$ это даст значение произвольной постоянной $\displaystyle C$ решением уравнения:
$\displaystyle 0=-1\cdot ln\left(\frac{1}{1}+C\right)=-ln\left(1+C\right);$
потенцируя по основанию $\displaystyle e$ получаем:
$\displaystyle e^0=e^{-ln\left(1+C\right)};$
$\displaystyle 1=\frac{1}{e^{ln\left(1+C\right)}}=\frac{1}{1+C};$
умножим на $\displaystyle 1+C$ :
$\displaystyle 1+C=1 \implies C=0.$
То есть искомая функция $\displaystyle y(x)$ найдена:
$\displaystyle y(x)=-xln\left(\frac{1}{x}\right).$
Осталось вычислить значение в точке $\displaystyle x=\frac{1}{e}$ :
$\displaystyle y\Big(\frac{1}{e}\Big)=-\frac{1}{e}ln\left(\frac{1}{1/e}\right)=-\frac{1}{e}ln(e)=-\frac{1}{e}.$
Ответ:
$\displaystyle \boxed{y\Big(\frac{1}{e}\Big)=-\frac{1}{e}.}$