Треугольник со сторонами в 10 см 17 см и 21 см вращается вокруг большей стороны....

Объём полученного тела будет состоять из объемов двух конусов, длина образующей первого из них равна 10, а длина образующей второго - 17.
Возьмём высоту большего конуса за x, тогда высота меньшего конуса равна (21 - x).
По теореме Пифагора выразим радиус основания из большего конуса:
$r = 17^2 - x^2$

Из второго:
$r^2 = 10^2 - (21-x)^2$

Так как основание у обоих конусов общее, то:

$17^2 - x^2 = 10^2 - (21-x)^2 \\ 289 - x^2 = 100 - (441 - 42x + x^2) \\ 289 - x^2 = 100 - 441 + 42x - x^2 \\ 630 = 42x \\ x = 15$

Находим радиус основания:
$r^2 = 289 - 225 = 64, r = 8$

Находим площадь основания:
$S_o = \pi r^2 = 64 \pi$

Объём большего конуса:
$V = \frac{1}{3} S_oh = \frac{1}{3}64 \pi *15= 320 \pi$

Объём меньшего конуса:
$V = \frac{1}{3} S_oh = \frac{1}{3}64 \pi *(21-15)= 128 \pi$

Общий объём:
$V_o = 320 \pi + 128 \pi = 448 \pi$

Площадь поверхности тела будет равен сумме боковых поверхностей двух конусов:
$S_{b1} = \pi rl = 8*17 \pi =136 \pi$

$S_{b2} = \pi rl = 8*10 \pi = 80 \pi$

Общая площадь поверхности:
$S_b = 136 \pi +80 \pi = 216 \pi$