![g(x)=\sqrt[3]{3x-1}=(3x-1)^{\frac{1}{3}}\\\\g'(x)=\frac{1}{3}\cdot (3x-1)^{-\frac{2}{3}}\cdot (3x-1)'=\frac{1}{3\sqrt[3]{(3x-1)^2}}\cdot 3\\\\g'(\frac{2}{3})=\frac{1}{\sqrt[3]{(2-1)^2}}=1](https://tex.z-dn.net/?f=g%28x%29%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B3x-1%7D%3D%283x-1%29%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7D%5C%5C%5C%5Cg%27%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Ccdot+%283x-1%29%5E%7B-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%7D%5Ccdot+%283x-1%29%27%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%5Csqrt%5B3%5D%7B%283x-1%29%5E2%7D%7D%5Ccdot+3%5C%5C%5C%5Cg%27%28%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B%282-1%29%5E2%7D%7D%3D1 "g(x)=\sqrt[3]{3x-1}=(3x-1)^{\frac{1}{3}}\\\\g'(x)=\frac{1}{3}\cdot (3x-1)^{-\frac{2}{3}}\cdot (3x-1)'=\frac{1}{3\sqrt[3]{(3x-1)^2}}\cdot 3\\\\g'(\frac{2}{3})=\frac{1}{\sqrt[3]{(2-1)^2}}=1")
P.S. Есть две формулы для вычисления производной. Когда функция зависит от переменной х, и когда функция зависит от функции. В вашем примере функция g(x) - степенная, но зависит не от переменной х, а от функции (3х-1).
Здесь u(x) - какая-либо функция (называют её внутренняя). В вашем примере u=3x-1.
Если бы , например, было такое условие
,то
Правило это называется дифференцированием сложной функции.Чтобы найти производную сложной функции, надо производную внешней функции умножить на производную внутренней функции.
И так во всех формулах, которые вы знаете. Например,
