Дифференциальное уравнение помогите решить,пожалуйста. (y'')^2+2y'y'''+1=0

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

В уравнении явно отсутствует $x$ . Понизим порядок:
$y' = p(y) \\ y'' = (p(y))' = p'(y) * y' = p'p \\ y''' = (y'')' = (p'p)' = (p')'p + (p')^2 = p'' * p' * p + (p')^2 * p = p''p^2 + (p')^2p$ (1)
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид:
$(p'p)^2 + 2p(p''p^2 + (p')^2p) + 1 = 0 \\ (p')^2p^2 + 2p^2(p''p + (p')^2) + 1 = 0$ .
Разделим уравнение на $p^2$ ( $p \neq 0$ , в противном случае мы бы имели уравнение $C^2 + 1 = 0$ , нерешаемое в действительных числах):
$(p')^2 + 2(p''p + (p')^2) + \frac{1}{p^2} = 0 \\ 3(p')^2 + 2p''p + \frac{1}{p^2} = 0$ .
Полученное уравнение явно не содержит $y$ . Сделаем замену $p' = u(p) \Rightarrow p'' = u'u$ . Тогда:
$3u^2 + 2u'up + \frac{1}{p^2} = 0$ , или, полагая $u^2 = z$ ,
$3z + pz' = -\frac{1}{p^2}$ .
Получили линейное неоднородное уравнение 1-ого порядка. Решая его (оставляю это на вас), находим $z = \frac{C_1}{p^3} - \frac{1}{p^2} \Leftrightarrow (p')^2 = \frac{C_1}{p^3} - \frac{1}{p^2} \Leftrightarrow p' = \pm \sqrt{\frac{C_1}{p^3} - \frac{1}{p^2}}$
Разделяем переменные и интегрируем:
$\pm \int \frac{p\sqrt{p}dp}{\sqrt{C_1-p}} = y + C_2$ (2)
Находим интеграл в левой части (это тоже на вас):
$\pm (\frac{3}{4}C_1^2arctg \frac{\sqrt{p}}{\sqrt{C_1-p}} - \frac{1}{4} \sqrt{p}\sqrt{C_1-p}(3C_1+2p)) + C_2 = y$ (1')
Из (1) и (2) имеем:
$p = \frac{dy}{dx} \Rightarrow dx = \frac{dy}{p} = \pm \frac{p\sqrt{p}dp}{\sqrt{C_1-p}}$ , отсюда, находя интеграл в правой части, находим $x = \pm (C_1arctg \frac{\sqrt{p}}{\sqrt{C_1-p}} - \sqrt{p}\sqrt{C_1-p}) + C_3$ . (2')
Составляя систему из условий (1') и (2'), исключаем по возможности параметр p и записываем общий интеграл.

HUH39I_zn (97.8k баллов) 04 Апр, 18